Llamamos navegación ortodrómica a la que efectúa el barco siguiendo el arco de circulo máximo que une dos puntos.
Se caracteriza por ser la distancia más corta entre ambos.
Es una navegación indicada para travesías largas entre puntos de latitud grande y situados en paralelos próximos entre sí.
En estos casos, es la navegación mas económica.
Se llama Ri (rumbo inicial) al formado en cualquier puntos de la ortodrómica por la misma línea ortodrómica y el meridiano del lugar.
Este ángulo varia a lo largo de toda la ortodrómica (es lo que la hace diferente de la loxodrómica).
De este modo, la ortodrómica en la carta mercatoriana, queda representada como una línea curva, que tiene un punto de inflexión en las proximidades del ecuador. Para facilitar la navegación ortodrómica sobre cartas, se construye la representación de cartas gnomónicas, en las que el circulo máximo queda representado por una recta.
Cuando se navega entre dos puntos próximos, la ortodrómica presenta pocas o ninguna ventaja.
 

 En navegación por circulo máximo, o navegación ortodrómica, nos podemos encontrar con dos tipos de problemas:
 

PROBLEMA TIPO 1: Dadas las coordenadas de dos puntos, calcular Ri y distancia navegada
 

PROBLEMA TIPO 2: Dadas las coordenadas de un punto y la distancia navegada, obtener las coordenadas del punto de llegada.
Bueno pues vamos a meternos en este post con los problemas del primer tipo, es decir, con el caso en el que sabemos la latitud y longitud de salida (l y L respectivamente) y las de llegada (l´y L´ respectivamente) y nos piden que calculemos el Ri (rumbo inicial) y la distancia navegada.
 

CÁLCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri)
cotg Ri = cos l [ ( tg l' / sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]
 

CÁLCULO DE LA DISTANCIA NAVEGADA (D)
cos D = ( sel l * sen l´ ) + ( cos l * cos l´ * cos ΔL )
donde:
l es la latitud de salida
l´es la latitud de llegada
ΔL es el incremento en Longitud, o lo que es lo mismo, la Longitud de llegada menos la de salida, teniendo en cuenta el criterio de signos (Y recordamos que Longitudes W serán positivas y E negativas)
Ri es el rumbo de la ortodrómica
D es la distancia navegada
 

Veamos un ejemplo:

coordenadas del punto de salida l=50º36'N / L=019º24'E
coordenadas del punto de llegada l´=60º18'N / L´=098º12'E
 

Calcularemos primero el Ri usando la formula que hemos visto mas arriba:

cotg Ri = cos l * [ ( tg l´/ sen Δl ) - ( tg l / tg Δl ) ]
ΔL = 98º12' - 19º24´= 78º 48´hacia el E pues vamos de una posición E a una que esta aun mas al E
llamamos P a la operación de --> tg l´/ sen ΔL = 1.787224037
llamamos P´a la operación de --> tg l / tg ΔL = 0.241055636
Operamos P-P´--> 1.546168401
por último, multiplicamos el resultado P-P´por el cos l, y obtenemos:
cotg Ri = 0.981400262, luego Ri = 45º32´
y para ponerle los indicadores del cuadrante, tendremos que fijarnos que de acuerdo a nuestras coordenadas de salida y llegada, hemos navegado hacia el norte y hacia el este, luego:
Ri = N 45,5º E
 

Ahora calcularemos la distancia navegada entre ambos puntos, mediante la fórmula vista más arriba:
cos l = ( sel l * sen l´) + (cos l * cos l´* cos Δl )
Aquí hay que tener en cuenta el sigo que adoptan senos y cosenos en cada cuadrante.
De esta forma, tendremos que:
sen l = sen (50º36´) es positivo
sen l´= sen (60º18´) es positivo
A=sen l * sen l´= 0.6712207 (positivo)
cos l = cos (50º36´) es positivo
cos l´= cos (60º18´) es positivo
cos ΔL = cos (78º48´) es positivo
B = cos l * cos l´* cos Δl = 0.0261305 (positivo)
cos D = A + B = 0.6973512, luego,
D = 45,78º , que multiplicándolo por 60 (que son las millas que tiene un grado) nos dará que la distancia ortodrómica recorrida es de 2747,10 millas

Veamos las fórmulas:

DISTANCIA ORTODRÓMICA
cos D = sen l * sen l' + cos l * cos l' * cos ΔL
DISTANCIA LOXODRÓMICA
Dist. loxodrómica = Δl * sec Rlox, donde , tg Rlox = Δl / Δla
o también, Dist loxodrómica = ΔL * cos lm
donde:
D es distancia ortodrómica
Dist.lox es distancia loxodrómica
l es la latitud de salida
l' es la latitud de llegada
ΔL es el incremento en Longitud
Δl es el incremento en latitud
Rlox es el rumbo loxodrómico
Δla es el incremento en latitudes aumentadas
lm es la latitud media
 

De este modo: ECONOMÍA = D. ortodrómica - D. loxodrómica

ORTODRÓMICA : PROBLEMAS TIPO 1

En navegación por circulo máximo, o navegación ortodrómica, nos podemos encontrar con dos tipos de problemas:
PROBLEMA TIPO 1: Dadas las coordenadas de dos puntos, calcular Ri y distancia navegada

PROBLEMA 1.- Calcular Ri y Distancia ortodrómica en la siguiente navegación:
latitud de salida = 62º N
Longitud de salida = 124º36' W
latitud de llegada = 50º S
Longitud de llegada = 150º 24' E

CÁLCULO DEL Ri

cotg Ri = cos l * [ ( tg l´/ sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]
Tenemos que darnos cuenta de que el arco más pequeño entre la Longitud de salida y la de llegada es atravesando el meridiano 180º, es decir "por detrás de Greenwich". Haciéndolo así, navegaremos desde la Longitud 124º36ºW hasta los 180º, es decir, unos 55,4º y luego, desde los 180º (meridiano inferior de Greenwich) hasta los 150º 24' E, es decir, 29,6º mas. De esta forma el incremento en Longitud sera 29,6 + 55,4, es decir, 85º de navegación hacia el W.
cotg Ri = cos 62º * [ ( tg 50º/sen 85º) - (tg 62º / tg 85º ) ] =
cotg Ri = cos 62º * [ - 1,1963059 - 0,16454 ]
En la formula de la cotg del Ri, tenemos que poner los signos de los valores trigonométricos:
* tg 50º es negativa (porque la latitud de salida era SUR, y las coordenadas SUR las consideramos negativas)
* sen 85º es positivo
* tg 62º es positivo
* tg 85º es positivo
cotg Ri = cos 62º * ( - 1,3608481 )
Ri = - 57º 25' 34'', que al ser negativo expresaremos como SUR, y que debido al cálculo del ΔL sabemos que es al Oeste, luego nuestro Ri será: S 54,42º W

CÁLCULO DE LA DISTANCIA ORTODRÓMICA

cos D = ( sen l * sen l´) + (cos l * cos l´* cos ΔL )
cos D = ( sen 62º * sen (-50º) ) + ( cos 62º * cos (-50º) * cos 85º )
cos D = - 0.650076
Distancia ortodrómica = 7832.84 millas

PROBLEMA TIPO 2:

Dadas las coordenadas de un punto y la distancia navegada, obtener las coordenadas del punto de llegada.
Sabemos la latitud y longitud de salida (l y L respectivamente) y las de llegada (l´y L´ respectivamente) y nos piden que calculemos el Ri (rumbo inicial) y la distancia navegada.
PROBLEMA 2.-

Calcular Ri y Distancia ortodrómica en la siguiente navegación:
latitud de salida = 56º30' S
Longitud de salida = 90ºE
latitud de llegada = 56º30' S
Longitud de llegada = 170º W

CÁLCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri)
cotg Ri = cos l [ ( tg l' / sen ΔL ) - ( tg l / tg ΔL ) ]

CÁLCULO DE LA DISTANCIA NAVEGADA (D)
cos D = ( sel l * sen l´ ) + ( cos l * cos l´ * cos ΔL )

donde:
l es la latitud de salida
l´ es la latitud de llegada
ΔL es el incremento en Longitud, o lo que es lo mismo, la Longitud de llegada menos la de salida, teniendo en cuenta el criterio de signos (Y recordamos que Longitudes W serán positivas y E negativas)
Ri es el rumbo de la ortodrómica
D es la distancia navegada
Veamos un ejemplo:
coordenadas del punto de salida l=50º36'N / L=019º24'E
coordenadas del punto de llegada l´=60º18'N / L´=098º12'E

Calcularemos primero el Ri usando la formula que hemos visto mas arriba:
cotg Ri = cos l * [ ( tg l´/ sen Δl ) - ( tg l / tg Δl ) ]
ΔL = 98º12' - 19º24´= 78º 48´hacia el E pues vamos de una posición E a una que esta aun mas al E
llamamos P a la operación de --> tg l´/ sen ΔL = 1.787224037
llamamos P´a la operación de --> tg l / tg ΔL = 0.241055636
Operamos P-P´--> 1.546168401
por último, multiplicamos el resultado P-P´por el cos l, y obtenemos:
cotg Ri = 0.981400262, luego Ri = 45º32´
y para ponerle los indicadores del cuadrante, tendremos que fijarnos que de acuerdo a nuestras coordenadas de salida y llegada, hemos navegado hacia el norte y hacia el este, luego:
 

Ri = N 45,5º E

Ahora calcularemos la distancia navegada entre ambos puntos, mediante la fórmula :

cos l = ( sel l * sen l´) + (cos l * cos l´* cos Δl )

Aquí hay que tener en cuenta el sigo que adoptan senos y cosenos en cada cuadrante. De esta forma, tendremos que:
sen l = sen (50º36´) es positivo
sen l´= sen (60º18´) es positivo
A=sen l * sen l´= 0.6712207 (positivo)
cos l = cos (50º36´) es positivo
cos l´= cos (60º18´) es positivo
cos ΔL = cos (78º48´) es positivo
B = cos l * cos l´* cos Δl = 0.0261305 (positivo)
cos D = A + B = 0.6973512, luego,
D = 45,78º , que multiplicándolo por 60 (que son las millas que tiene un grado) nos dara que la distancia ortodrómica recorrida es de 2747,10 millas