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EL CURIOSO CASO DEL ASTRO EN EL VERTICAL PRIMARIO (I)
Comenzaremos recordando que entendemos por “Vertical Primario” el círculo máximo que comprende los puntos del Zenit y el Nadir y los cardinales Este y Oeste. Entonces, un astro cualquiera se encontrará sobre el vertical primario cuando su azimut sea de 90º ó de 270º.
Vamos a repasar ahora unas fórmulas generales de la Trigonometría Esférica que vamos a aplicar a este caso particular. Y nos vamos a ayudar de este gráfico que, como véis, no tiene nada de particular. Es un triángulo esférico con sus tres vértices, “A”, “B” y “C”, sus correspondientes ángulos , “A”, “B” y “C” y sus lados opuestos, “a”, “b” y “c”.
[attachment=0:1mg57w3d]triang.jpg[/attachment:1mg57w3d]
Y vamos a recordar la Ley de Los Cosenos que dice: El coseno de un lado es igual a producto de los cosenos de los otros lados más el producto de los senos de estos mismos lados, por el coseno del ángulo comprendido. Esto es:
Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
Cos b = cos c cos a + sen c sen a cos B
Cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Otra de las fórmulas relevantes de la Trigonometría Esférica es la conocida como Ley de los Senos, que dice que los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es decir.
Sen a/ sen A = sen b/ senB = sen c/ sen C = k
Para el paso siguiente nos puede ayudar tener a mano los apuntes con el gráfico del triángulo de posición. Vamos a convertir el triángulo esférico de la figura en un triángulo de posición y vamos a aplicar sobre él las leyes que acabamos de mencionar. Veamos lo que pasa. Nuestro triangulito esférico venía definido por tres vértices, “A”, “B” y “C”. Al pasar a triángulo de posición nos queda:
El vértice “A” pasa a ser el Polo Elevado.
El vértice “B” pasa a ser al Astro*
El vértice “C” pasa a ser el Zenit.
Veamos los respectivos ángulos.
El ángulo “A” pasa a ser el Angulo en el Polo, Pº.
El ángulo “B” es el Angulo Paraláctico
Al ángulo “C” pasa a ser el Azimut.
Y, ahora, los lados:
El lado “a” es la Distancia Cenital, o sea, 90º menos Av. (En adelante llamaremos “Av” a la altura verdadera del astro)
El lado “b” es ahora la Colatitud. 90º menos l (En adelante, l = latitud)
Y, finalmente, el lado “c” es la Codeclinación. 90º menos “D” (D = Declinación).
Aplicamos ahora la fórmula del coseno que hemos visto antes.
Cos c = cos a cos b + sen c sen b Cos C
Y queda
Cos (90º - D) = cos (90º - Av) cos (90º - l) + sen (90º - Av) sen (90º - l) cos (Az). En donde Az es el Azimut.
En el caso particular del astro en el Vertical Primario, tenemos que el Azimut es o 90º ó 270º. Y su coseno es, en cualquier caso, “0”
Entonces, la fórmula anterior nos queda simplificada a
Cos (90º - D) = cos (90º - Av) cos (90º - l)
Sabemos que el coseno de un ángulo cualquiera es igual a seno de su complementario, por lo que podemos reducir la expresión anterior a
Sen D = sen Av sen l [1]
De la misma forma, vamos a desarrollar la fórmula de Los Senos a este caso particular.
Teníamos que
Sen a/ sen A = sen c/ sen C
Aplicamos la fórmula al triángulo de posición y tenemos
Sen (90º - Av)/ sen Pº = sen (90º - D)/ sen Az
Pero como Az = 90º, entonces su seno = 1. Entonces,
Sen (90º - Av)/ sen Pº = sen (90º - D).
Sen Pº = sen (90º - Av/ Sen (90º - D)
Y como el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, obtenemos finalmente
Sen Pº = cos Av/ cos D [2]
Tenemos que hemos encontrado dos fórmulas para el caso particular del astro en el vertical primario que simplifican notablemente el cálculo. Este tipo de casos particulares eran muy apreciados por los antiguos marinos. Hay que pensar que los antiguos no disponían de las Casio Fx que usamos casi todos, así que se tenían que apañar con tediosas series de cálculos con logaritmos. La simplificación del cálculo, además de ahorrar trabajo, que también, tenía la virtud de minimizar el riesgo de error.
Vamos a comentar un poco qué es lo que nos aporta la fórmula [1]
Sen D = sen Av sen l
Nos pone en relación Declinación, Altura del astro y latitud. Conocidos dos de los elementos, calculamos fácilmente el tercero.
Podemos calcular la altura del astro ya que seguramente tenemos una buena latitud estimada y tenemos la declinación en el Almanaque. Aunque para eso, para medir la altura, ya tenemos el sextante.
Pues entonces podemos aplicar la fórmula para calcular la declinación. Pero sería más fácil hallarla en el almanaque.
¿Entonces se empleaba para determinar la latitud? Porque si no, para este viaje no hacían falta alforjas. Pues, paradójicamente, la solución es la primera. Se utilizaba para calcular la altura del astro en el momento del paso por el Vertical Primario.
La dificultad de identificar el Vertical Primario proviene de la imprecisión para manejar el Azimut ¿Cómo determinar el momento en el que el astro pasaba por el Azimut 90º? ¿Con la aguja de demoras?. Lo que los antiguos hacían era calcular la altura verdadera por la que el astro pasaría por el Vertical Primario. Luego se corregía el sextante añadiendo del revés las correcciones por refracción y depresión del horizonte y se esperaba a cazar al astro justo en el momento en el que enrasara con el horizonte. Y en ese momento es cuando se obtenía el dato valioso de verdad. La hora. Tenemos que la fórmula [2] permite calcular con gran sencillez y precisión el horario local. Y teniendo una buena hora de cronómetro se puede calcular el horario Greenwich por el Almanaque. De modo que lo que se podía calcular así, con sencillez, era el más valioso de los datos: ¡La Longitud!
(Continuará)
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Comenzaremos recordando que entendemos por “Vertical Primario” el círculo máximo que comprende los puntos del Zenit y el Nadir y los cardinales Este y Oeste. Entonces, un astro cualquiera se encontrará sobre el vertical primario cuando su azimut sea de 90º ó de 270º.
Vamos a repasar ahora unas fórmulas generales de la Trigonometría Esférica que vamos a aplicar a este caso particular. Y nos vamos a ayudar de este gráfico que, como véis, no tiene nada de particular. Es un triángulo esférico con sus tres vértices, “A”, “B” y “C”, sus correspondientes ángulos , “A”, “B” y “C” y sus lados opuestos, “a”, “b” y “c”.
[attachment=0:1mg57w3d]triang.jpg[/attachment:1mg57w3d]
Y vamos a recordar la Ley de Los Cosenos que dice: El coseno de un lado es igual a producto de los cosenos de los otros lados más el producto de los senos de estos mismos lados, por el coseno del ángulo comprendido. Esto es:
Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
Cos b = cos c cos a + sen c sen a cos B
Cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Otra de las fórmulas relevantes de la Trigonometría Esférica es la conocida como Ley de los Senos, que dice que los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es decir.
Sen a/ sen A = sen b/ senB = sen c/ sen C = k
Para el paso siguiente nos puede ayudar tener a mano los apuntes con el gráfico del triángulo de posición. Vamos a convertir el triángulo esférico de la figura en un triángulo de posición y vamos a aplicar sobre él las leyes que acabamos de mencionar. Veamos lo que pasa. Nuestro triangulito esférico venía definido por tres vértices, “A”, “B” y “C”. Al pasar a triángulo de posición nos queda:
El vértice “A” pasa a ser el Polo Elevado.
El vértice “B” pasa a ser al Astro*
El vértice “C” pasa a ser el Zenit.
Veamos los respectivos ángulos.
El ángulo “A” pasa a ser el Angulo en el Polo, Pº.
El ángulo “B” es el Angulo Paraláctico
Al ángulo “C” pasa a ser el Azimut.
Y, ahora, los lados:
El lado “a” es la Distancia Cenital, o sea, 90º menos Av. (En adelante llamaremos “Av” a la altura verdadera del astro)
El lado “b” es ahora la Colatitud. 90º menos l (En adelante, l = latitud)
Y, finalmente, el lado “c” es la Codeclinación. 90º menos “D” (D = Declinación).
Aplicamos ahora la fórmula del coseno que hemos visto antes.
Cos c = cos a cos b + sen c sen b Cos C
Y queda
Cos (90º - D) = cos (90º - Av) cos (90º - l) + sen (90º - Av) sen (90º - l) cos (Az). En donde Az es el Azimut.
En el caso particular del astro en el Vertical Primario, tenemos que el Azimut es o 90º ó 270º. Y su coseno es, en cualquier caso, “0”
Entonces, la fórmula anterior nos queda simplificada a
Cos (90º - D) = cos (90º - Av) cos (90º - l)
Sabemos que el coseno de un ángulo cualquiera es igual a seno de su complementario, por lo que podemos reducir la expresión anterior a
Sen D = sen Av sen l [1]
De la misma forma, vamos a desarrollar la fórmula de Los Senos a este caso particular.
Teníamos que
Sen a/ sen A = sen c/ sen C
Aplicamos la fórmula al triángulo de posición y tenemos
Sen (90º - Av)/ sen Pº = sen (90º - D)/ sen Az
Pero como Az = 90º, entonces su seno = 1. Entonces,
Sen (90º - Av)/ sen Pº = sen (90º - D).
Sen Pº = sen (90º - Av/ Sen (90º - D)
Y como el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, obtenemos finalmente
Sen Pº = cos Av/ cos D [2]
Tenemos que hemos encontrado dos fórmulas para el caso particular del astro en el vertical primario que simplifican notablemente el cálculo. Este tipo de casos particulares eran muy apreciados por los antiguos marinos. Hay que pensar que los antiguos no disponían de las Casio Fx que usamos casi todos, así que se tenían que apañar con tediosas series de cálculos con logaritmos. La simplificación del cálculo, además de ahorrar trabajo, que también, tenía la virtud de minimizar el riesgo de error.
Vamos a comentar un poco qué es lo que nos aporta la fórmula [1]
Sen D = sen Av sen l
Nos pone en relación Declinación, Altura del astro y latitud. Conocidos dos de los elementos, calculamos fácilmente el tercero.
Podemos calcular la altura del astro ya que seguramente tenemos una buena latitud estimada y tenemos la declinación en el Almanaque. Aunque para eso, para medir la altura, ya tenemos el sextante.
Pues entonces podemos aplicar la fórmula para calcular la declinación. Pero sería más fácil hallarla en el almanaque.
¿Entonces se empleaba para determinar la latitud? Porque si no, para este viaje no hacían falta alforjas. Pues, paradójicamente, la solución es la primera. Se utilizaba para calcular la altura del astro en el momento del paso por el Vertical Primario.
La dificultad de identificar el Vertical Primario proviene de la imprecisión para manejar el Azimut ¿Cómo determinar el momento en el que el astro pasaba por el Azimut 90º? ¿Con la aguja de demoras?. Lo que los antiguos hacían era calcular la altura verdadera por la que el astro pasaría por el Vertical Primario. Luego se corregía el sextante añadiendo del revés las correcciones por refracción y depresión del horizonte y se esperaba a cazar al astro justo en el momento en el que enrasara con el horizonte. Y en ese momento es cuando se obtenía el dato valioso de verdad. La hora. Tenemos que la fórmula [2] permite calcular con gran sencillez y precisión el horario local. Y teniendo una buena hora de cronómetro se puede calcular el horario Greenwich por el Almanaque. De modo que lo que se podía calcular así, con sencillez, era el más valioso de los datos: ¡La Longitud!
(Continuará)
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