La intersección de la recta que une imaginariamente un Astro con el centro de la Tierra con la superficie terrestre recibe el nombre de punto astral o polo de iluminación.
La latitud de dicho punto es igual a la declinación del astro y la longitud igual a su horario en Greenwich.
Todos los puntos de la Tierra que en un momento dado vean dicho Astro con igual altura forman un círculo alrededor de dicho punto astral, llamado círculo de alturas iguales.
Un observador que vea dos astros simultáneamente se encontrará situado en la intersección de los círculos de altura de los mismos. Dicha intersección se puede dar en dos puntos, de los que normalmente se puede descartar una de ellas por estar demasiado alejada de la situación de estima. Si se observan tres astros sólo habrá un punto que cumpla la condición de estar sobre el círculo de alturas iguales de los tres astros, obteniéndose así una posición exacta.
El problema es la dificultad de representar dichos círculos sobre una esfera. La solución es representarlos sobre cartas Mercatorianas, que por la superficie que abarcan, proporcionalmente muy pequeña, permiten simplificar la representación de cada uno de los círculos por una recta tangente al mismo, y por consiguiente perpendicular al azimut con el que vea el observador el Astro.
Idealmente debemos elegir tres astros para situarnos, con sus azimutes a 120º el uno del otro.
Existen varios procedimientos de aplicación de este concepto, si bien el que se usa generalmente es sólo uno de ellos, la tangente Marcq Saint-Hilaire.
Secante Summer:
Sobre una situación de estima tomamos dos posiciones de latitud distinta, simétricas a la de estima (sumamos y restamos el mismo error a la estimada) y calculamos su posición en función de la altura del astro.
Trazamos una recta que une los dos puntos obtenidos.
Repetimos el procedimiento con otro astro y la intersección de las dos rectas será la posición del observador.
Su determinante son los dos puntos que definen la recta.
Secante Borda:
Igual al anterior pero la variación la aplicamos a la longitud.
Tangente Johnson:
Usa una fórmula para calcular la longitud hallando el horario local del astro con la altura verdadera, la latitud estimada y la declinación.
Obtenemos la longitud restando del dato obtenido el horario del astro en Greenwich.
La posición vendrá dada por dicha longitud y la latitud de estima. Es observa mejor con astros de azimut próximo a 90º.
Tangente Marcq Saint-Hilaire:
Esta es el método más ampliamente usado.
Consiste en ajustar la situación de estima desplazándose de la misma por la vertical del astro que pasa por dicha situación (azimut) en una distancia que nos ponga en el círculo de alturas del astro.
La nueva posición hallada es el punto aproximado.
El determinante de la tangente Marqu Saint-Hilaire es la situación de estima, el azimut del astro y la diferencia con signo entre la altura verdadera y la estimada.
El procedimiento es :
Tener una posición estimada.
Tomar la altura de uno o más astros.
Calcular la altura estimada con la fórmula :
Sen a = sen l sen d + cos l cos d cos P
( si l y d son de distinto tipo debemos anteponer un signo -)
Calcular el azimut caso de no haberlo observado:
Cotg Z = (tg d cos l – sen l cos P) / sen P (igualmente, si d y l son de distinto tipo debemos poner delante de tg d un
signo menos)
Calcular la diferencia obtenida entre la altura de cada astro correspondiente a la situación estimada y la verdadera obtenida por medición.
Dicha diferencia nos dará un dato de diferencia de altura que es el error de distancia entre la recta de altura del astro y la situación estimada.
Representar la línea de azimut a partir de la situación estimada y sobre ella obtener un nuevo punto desplazándonos una distancia correspondiente al error de distancia hallado.
Trazando una perpendicular al azimut esta será la recta de altura correspondiente al Astro.
En el caso de tener una sola altura este punto hallado sería el llamado punto aproximado, que debemos utilizar como nuevo punto de partida para el cálculo de las estimas sucesivas
Idealmente se debe obtener la situación mediante las rectas de altura simultáneas a dos o más astros.
Admitiremos que son simultáneas, aunque sean sucesivas si el intervalo de tiempo es breve, inferior al minuto y la distancia recorrida por el buque es de no más de 300 metros.
Si tenemos la altura de dos o más astros simultáneos, repetiremos el procedimiento con cada uno de ellos obteniendo así varias rectas de altura que determinarán la posición observada por su punto de intersección.
Si hay tres astros puede ocurrir que las tres rectas no coincidan en un punto, sino que formen un triángulo, lo que se deberá a los errores de toma de altura y cálculo corregidos.
Podemos determinar la posición observada por el centro geométrico de dicho triángulo o por la intersección de las bisectrices de sus tres ángulos.
También podemos estimar la situación mediante la construcción gráfica del punto de Grebbe, que es el punto interior de un triángulo que tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de las distancias a los tres lados es la menor posible.
Para ello se construye un nuevo triángulo, exterior al inicial y con los lados paralelos al mismo y separados una cuarta parte de la longitud del lado interior.
Uniendo los vértices del nuevo triángulo con los homólogos del anterior se halla un punto que será la situación.
Si tenemos una altura inicial y una segunda tomada con un cierto intervalo de tiempo, debemos calcular la estima hasta la segunda observación desde el punto aproximado de la primera y en el punto estimado dibujar, la primera recta de altura pasando por el propio punto, dado que ya hemos absorbido su error de altura en el punto aproximado anterior, y la nueva recta de altura.
La intersección de las dos rectas de altura nos darán el nuevo punto observado.
El traslado se hará, preferentemente, gráficamente en distancias cortas y analíticamente en distancias largas.
Caso de haber una tercera observación posterior se trasladarían ambas rectas de altura a la nueva posición de estima y se actuaría de manera similar.
Errores en las situaciones por rectas de altura:
Sistemáticos y accidentales
Sistemáticos:
Error de altura, por corrección de índice, mala visibilidad, error en la altura del observador, condiciones atmosféricas anormales que varíen la corrección por depresión.
Hay un procedimiento que permite eliminar los errores sistemáticos que consiste en la toma de tres observaciones y dibujar sus correspondientes rectas de altura.
Las bisectrices de los ángulos que forman dan una posición exenta de errores sistemáticos.
Accidentales:
Error por mala observación de un astro, por balanceo de la embarcación, translación de rumbo o distancia o por cronómetro.
Cada uno de los errores anteriores tendrá distinto efecto sobre la precisión de la posición hallada.
Errores en la altura. La recta real será paralela a la calculada.
Nos llevarían a trazar dos rectas paralelas a la teóricamente cierta y separadas de la misma por el máximo error esperado en cada sentido.
Error en la distancia navegada.
Traslado de la recta de altura un distancia igual al error.
Error en el rumbo. Traslado del determinante de la primera observación a un punto erróneo
Errores de cronómetro nos llevan a una translación de la recta de altura en el sentido de los paralelos.
Ello nos lleva a hablar de una superficie de posición, que sería el lugar geométrico de las posiciones posibles en función de los posibles errores cometidos.
Cuando estamos cerca de la costa trazaremos tangentes a la superficie de posición con la dirección del rumbo para ver la zona de la costa a la que podemos llegar, denominada zona de recalada
Casos especiales de la recta de altura:
Observación de la altura meridiana del astro, o sea a su paso por el meridiano superior o inferior del lugar.
Nos da directamente la latitud de acuerdo con las siguientes fórmulas:
Meridiano superior:
l = d – z con z = altura cenital = 90º-altura verdadera, z negativo si cara al polo depreso.
Meridiano inferior:
l = a + Delta con Delta = Codeclinación = 90º-declinación.
El Astro estará en el meridiano superior si : mirando al polo elevado su declinación es mayor que la latitud o si está mirando al polo depreso.
Observación de un astro próximo al meridiano. Altura circunmeridiana:
Teóricamente se podrían tratar como el caso anterior con unos ajustes por tablas, pero en la práctica se tratan como una altura normal no meridiana
Altura de la estrella Polar:
Con la altura de la Polar y el horario local de Aries obtenemos la latitud directamente corrigiendo la altura observada con los datos sacados de tres tablas del Almanaque Náutico.
Astro en el vertical Primario (Este u Oeste):
Al estar en dicha posición el astro, el triángulo de posición es un triángulo rectángulo, por lo que equivale a una altura meridiana : l = d –z .
Una vez hallada la latitud podemos calcular el horario con la fórmula :
Cos h = tg d / tg l y con este horario local del astro hallamos la longitud al restarle el horario del astro en Greenwich.
Otras utilizaciones de una recta de altura:
Además de obtener una posición exacta, nos permite calcular otros datos :
Observando un astro en dirección perpendicular a tierra obtendremos una recta de altura paralela a la costa, con lo que obtenemos la distancia a la misma.
Observando un astro en la dirección de un punto concreto, o la opuesta, obtenemos una recta de altura con la distancia a dicho punto, que por intersección con el azimut nos da la posición exacta.
Para comprobar el rumbo de la embarcación observando un astro perpendicular al rumbo de la misma.
Recta de rumbo o recta de dirección.
Para comprobar la distancia o la velocidad con un astro en la línea de crujía del buque.
Recta de velocidad o recta de distancia.
Cálculo abreviado de la longitud en la Meridiana por coeficiente de Pagel:
El coeficiente de Pagel es el porcentaje de error introducido en la Longitud por un error de un grado en la latitud.
Por consiguiente, si sabemos el error absoluto cometido en la latitud podemos calcular el correspondiente error en la Longitud.
Su ventaja es que nos permite calcular la posición observada cuando la segunda observación no simultanea es una meridiana, dado que calculamos numéricamente los deltas de latitud y longitud.
Para ello calculamos el coeficiente de Pagel en una observación anterior a la meridiana con la fórmula:
dP = (tg d / sen P) – (tg l / tg P)
(se usa la longitud de estima de la observación anterior, así como el ángulo en el Polo que se usa en la estima).
En la observación meridiana calculamos la longitud real mediante altura meridiana, y hallamos el error de latitud cometido en la estima.
Ese error multiplicado por el coeficiente de Pagel nos dará el ajuste a realizar a la estima de la longitud.
Para hallar su signo tomamos el azimut del astro de la observación anterior, y ponemos debajo sus opuestos (por ejemplo, si Z era = N 35 W
N W
S E
El signo del error de longitud será el opuesto en diagonal al que hallamos como error de latitud en la meridiana por diferencia entre el valor real y el estimado.
Así, si el determinante de altura es hacia el Sur, el signo de la variación de longitud será W y deberemos sumar dicha variación a la estima realizada.
Plan de observaciones:
Por la mañana, en el crepúsculo matutino, nos situamos mediante dos o tres estrellas.
A media mañana se obtiene una recta de altura del Sol, procurando que este cercano al Este y que la altura no sea muy pequeña.
Al mediodía se obtiene la meridiana, y de halla la posición por traslado de la recta de altura de media mañana.
En el crepúsculo vespertino se vuelve a hallar la posición por recta de altura a dos o tres astros.
Situación por rectas de alturas:
Dos simultáneas.
Dos Marcq:
Se dibuja directamente, trazando la escala de latitudes y diferencias de altura mediante una recta inclinada la latitud de estima
Marcq y paralelo
Se dibujan ambas. La latitud es la del paralelo y sólo hay que calcular la variación de longitud
Paralelo y Marcq:
Como la altura meridiana nos da ya una longitud buena, usamos esta dentro de las fórmulas para hallar el determinante de la otra recta de altura.
No simultáneas. Traslado de recta de altura:
Cuando se tienen dos rectas de altura no simultaneas hay que trasladar la primera al punto de estima de la segunda. Para ello procederemos como sigue.
Tomaremos la primera altura, calcularemos el determinante y ajustaremos la posición de estima al punto aproximado.
Realizaremos la estima desde ese punto aproximado hasta el momento de la nueva observación.
En este segundo punto de estima trazaremos la recta de altura correspondiente a la primera observación sin ajuste por diferencia de alturas, por haber sido ya tenido en cuenta previamente y trazaremos el azimut y la recta de altura del segundo astro, teniendo aquí en cuenta la diferencia de alturas hallada para el mismo.
La intersección de ambas rectas nos da la nueva situación, que tomaremos como punto de partida de las posteriores estimas.
Si la segunda observación es una meridiana puedo aplicar Pagel para ahorrarme el dibujo, resolviendo el problema analíticamente.
Hora de paso por el meridiano del observador (resultado en HTU)
Sol:
Hora de paso por Greenwich
+ Longitud en tiempo
Luna:
Hora de paso por Greenwich
Corrección por retardo y Longitud (W+ E -)
+ Longitud en tiempo
Planeta:
Hora de paso por Greenwich
Corrección por retardo y Longitud (W+ E -)
+ Longitud en tiempo
Estrella:
Hora de paso por Greenwich a primero de mes
Ajuste de variación para el día del mes
+ Longitud en tiempo
Calculo del intervalo de tiempo desde un momento dado hasta el paso del astro por el meridiano móvil del barco.
Si tenemos un horario local del astro, situado al Este, en un momento dado, sabemos que se nos acercará a una velocidad de 15º por hora.
Si el barco está navegando, su movimiento tendrá una componente longitudinal cada hora , que podemos calcular por las fórmulas de la loxodrómica.
Si este movimiento es hacia el Este incrementa la velocidad relativa en la que el astro recorre el horario local que lo separa de nosotros, y si es hacia el Oeste la reduce.
El tiempo total hasta que el astro se encuentre en el nuestro meridiano móvil es el horario local del astro en el momento inicial y expresado en minutos partido por 9000 (velocidad angular del astro expresada en minutos o sea 15º x 60 minutos) más la componente longitudinal de la velocidad del barco si esta es al Este y menos si esta es al Oeste.
De esta manera podemos predecir la hora a la que se producirá el paso por el meridiano móvil y prepara la observación.
Las velocidades angulares de los distintos astros son :
Luna: 859 + dif/10
Sol: 900
Planetas: 900+dif/10
Estrellas: 902,5